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Auflagertypen

Auflager verbinden das Tragwerk mit der Umgebung. In der Steifigkeitsmethode legt jedes Auflager einzelne Freiheitsgrade eines Knotens fest – starr, mit einem vorgegebenen Wert wie bei einer Stützensenkung, oder elastisch über eine Feder. Diese Seite ordnet die üblichen Auflagertypen den Freiheitsgraden zu, zeigt, wie daraus die Auflagerkräfte entstehen, und rechnet eine Stützensenkung und ein Federlager vollständig durch.

1. Auflager als Bindungen

Ein Knoten eines ebenen Rahmens hat drei Freiheitsgrade: die Verschiebungen $u_x$ und $u_y$ und die Verdrehung $\varphi$ (siehe Direkte Steifigkeitsmethode, Abschnitt 2). Ein Auflager sperrt einen oder mehrere davon. Die Zahl der gesperrten Freiheitsgrade ist die Wertigkeit des Auflagers; zu jedem gesperrten Freiheitsgrad gehört genau eine Auflagerreaktion.

Auflager	gesperrt	frei	Wertigkeit	Reaktionen
Loslager	$u_y$	$u_x$ , $\varphi$	1	$A_y$
Festlager	$u_x$ , $u_y$	$\varphi$	2	$A_x$ , $A_y$
Einspannung	$u_x$ , $u_y$ , $\varphi$	–	3	$A_x$ , $A_y$ , $M_A$
verschiebliche Einspannung	$u_y$ , $\varphi$	$u_x$	2	$A_y$ , $M_A$

Die Tabelle nennt die übliche Lage mit waagrechter Gleitrichtung. Ebenso gibt es ein Loslager, das nur $u_x$ hält, oder eine verschiebliche Einspannung, die in $y$ -Richtung gleitet. Ein Federlager sperrt keinen Freiheitsgrad, sondern hält ihn elastisch; es wird in Abschnitt 5 behandelt.

Ein Auflager bestimmt, welche Bewegungen verhindert sind, nicht, wie der Stab angeschlossen ist. Ob sich ein Stabende am Festlager frei verdrehen kann, hängt davon ab, dass das Festlager $\varphi$ nicht sperrt – ein Gelenk im Stab braucht es dafür nicht, siehe Abschnitt 3.

2. Auflagerkräfte

Man teilt die Freiheitsgrade in freie ( $f$ ) und gesperrte ( $s$ ) und ordnet das Gleichungssystem $\mathbf K\,\mathbf u = \mathbf F$ entsprechend. An den gesperrten Freiheitsgraden kommt zur Last $\mathbf F_s$ die unbekannte Auflagerreaktion $\mathbf R$ hinzu:

\begin{bmatrix} \mathbf K_{ff} & \mathbf K_{fs} \\ \mathbf K_{sf} & \mathbf K_{ss} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf u_f \\ \bar{\mathbf u}_s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf F_f \\ \mathbf F_s + \mathbf R \end{bmatrix}

Die obere Zeile liefert die freien Verschiebungen, die untere danach die Auflagerreaktionen:

\mathbf K_{ff}\,\mathbf u_f = \mathbf F_f - \mathbf K_{fs}\,\bar{\mathbf u}_s, \qquad \mathbf R = \mathbf K_{sf}\,\mathbf u_f + \mathbf K_{ss}\,\bar{\mathbf u}_s - \mathbf F_s

$\mathbf R$ sind die Kräfte, die das Auflager auf das Tragwerk ausübt, positiv in Richtung der globalen Achsen und das Moment positiv gegen den Uhrzeigersinn. Ein nach oben drückendes Auflager hat also $A_y > 0$ . Das Glied $\mathbf F_s$ enthält Lasten, die unmittelbar am gesperrten Freiheitsgrad angreifen, und die arbeitsäquivalenten Anteile der Stablasten an diesem Knoten: Eine Einzellast direkt über einem Loslager geht ohne Umweg in dessen Auflagerkraft.

Als Probe müssen Lasten und Auflagerkräfte zusammen im Gleichgewicht stehen: $\sum F_x = 0$ , $\sum F_y = 0$ und $\sum M = 0$ um einen beliebigen Punkt.

3. Auflager und Stabanschluss

Am Festlager ist die Verdrehung $\varphi$ ein freier Freiheitsgrad und damit eine Unbekannte des Gleichungssystems. Hängt dort nur ein Stab, verdreht er sich mit dem Knoten, und das Moment am Stabende ist null, weil nichts anderes am Knoten ein Moment aufnehmen kann. Ein Momentengelenk am Stabende ändert daran nichts: Es macht aus der Knotenverdrehung nur einen Freiheitsgrad ohne Steifigkeit (siehe Gelenke und Freiheitsgrade, Abschnitt 2).

Anders ist es in zwei Fällen:

Mehrere Stäbe am Festlager. Biegesteif angeschlossen, teilen sie sich die Knotenverdrehung und können untereinander Momente austauschen. Nur wenn die Stäbe wirklich gelenkig angeschlossen sind, braucht es Momentengelenke an den Stabenden – bei $n$ Stäben genügen $n - 1$ .
Einspannung. Hier ist $\varphi$ gesperrt, und ein biegesteif angeschlossener Stab erhält das Einspannmoment. Ein Momentengelenk am Stabende hebt die Einspannung für diesen Stab auf; er ist dann nur noch gelenkig gelagert.

4. Stützensenkung

Eine Stützensenkung ist eine vorgegebene Verschiebung $\bar u$ an einem gesperrten Freiheitsgrad. In der Gleichung oben steht sie in $\bar{\mathbf u}_s$ und wirkt über $-\mathbf K_{fs}\,\bar{\mathbf u}_s$ wie eine Last auf die freien Freiheitsgrade. Eine vorgegebene Auflagerverdrehung wird genauso behandelt. Ein statisch bestimmtes Tragwerk folgt einer Senkung zwangfrei, ohne dass Schnittgrößen entstehen. Erst überzählige Bindungen behindern die Bewegung; die dabei entstehenden Zwangsschnittgrößen wachsen mit der Steifigkeit $EI$ .

System

Zweifeldträger wie im Beispiel zur Steifigkeitsmethode: zwei Felder zu $L = 6$ m, $EI = 20\,250$ kNm², Festlager $A$ , Loslager $B$ und $C$ . Keine Last; das Mittelauflager $B$ senkt sich um $s = 10$ mm, also $\bar u_{y,B} = -0{,}01$ m.

Gleichungssystem

Unbekannt sind wieder die Verdrehungen $\varphi_A$ , $\varphi_B$ und $\varphi_C$ ; die Matrix $\mathbf K_{ff}$ ist dieselbe wie dort. Neu ist die rechte Seite. Die Spalte von $\mathbf K_{fs}$ zu $u_{y,B}$ enthält aus der Elementmatrix die Einträge $\mp 6EI/L^2$ : $-6EI/L^2$ bei $\varphi_A$ (Stab A–B, Ende $b$ ), $-6EI/L^2 + 6EI/L^2 = 0$ bei $\varphi_B$ und $+6EI/L^2$ bei $\varphi_C$ (Stab B–C, Anfang $a$ ). Mit $6EI/L^2 = 3\,375$ kN:

\frac{EI}{L} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 2 & 8 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varphi_A \\ \varphi_B \\ \varphi_C \end{bmatrix} = -\mathbf K_{fs}\,\bar u_{y,B} = \begin{bmatrix} 3\,375 \cdot (-0{,}01) \\ 0 \\ -3\,375 \cdot (-0{,}01) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -33{,}75 \\ 0 \\ 33{,}75 \end{bmatrix} \text{kNm}

Lösung

Aus der Symmetrie folgt $\varphi_B = 0$ und $\varphi_C = -\varphi_A$ . Die erste Zeile gibt mit $4EI/L = 13\,500$ kNm

\varphi_A = -\frac{33{,}75}{13\,500} = -2{,}5 \cdot 10^{-3}\ \text{rad} = \frac{3\,\bar u_{y,B}}{2L}

Auflagerkräfte und Stützmoment

Aus $\mathbf R = \mathbf K_{sf}\,\mathbf u_f + \mathbf K_{ss}\,\bar{\mathbf u}_s$ , mit $12EI/L^3 = 1\,125$ kN/m und, weil sich bei $B$ beide Stäbe addieren, $24EI/L^3 = 2\,250$ kN/m:

\begin{aligned} A_y &= \tfrac{6EI}{L^2}\,\varphi_A - \tfrac{12EI}{L^3}\,\bar u_{y,B} = -8{,}4375 + 11{,}25 = 2{,}8125\ \text{kN} \\ B_y &= -\tfrac{6EI}{L^2}\,\varphi_A + \tfrac{6EI}{L^2}\,\varphi_C + \tfrac{24EI}{L^3}\,\bar u_{y,B} = 8{,}4375 + 8{,}4375 - 22{,}5 = -5{,}625\ \text{kN} \end{aligned}

Das Mittelauflager zieht den Träger also nach unten, die Endauflager drücken ihn nach oben; aus Symmetrie ist $C_y = A_y$ , und die Summe ist null, wie es ohne Last sein muss. Das Stützmoment ist das Endmoment von Stab A–B:

M_B = m_b = \tfrac{2EI}{L}\,\varphi_A - \tfrac{6EI}{L^2}\,\bar u_{y,B} = -16{,}875 + 33{,}75 = 16{,}875\ \text{kNm} = \frac{3EI\,s}{L^2}

Positiv, also Zug an der Unterseite: Der Träger hängt über $B$ durch. Die Momentenlinie ist in beiden Feldern linear, von null an den Endauflagern bis $16{,}875$ kNm über $B$ . Zur Probe: $A_y \cdot L = 2{,}8125 \cdot 6 = 16{,}875$ kNm.

5. Federlager

Ein Federlager hält einen Freiheitsgrad elastisch: Die Auflagerkraft ist proportional zur Verschiebung, $R = -k_F\,u$ , mit der Federsteifigkeit $k_F$ in kN/m für Verschiebungen und in kNm/rad für die Verdrehung (Drehfeder). Damit lassen sich nachgiebiger Baugrund, ein stützender Nachbarbauteil oder eine teilweise Einspannung abbilden.

In der Steifigkeitsmethode bleibt der Freiheitsgrad frei. Die Feder ist ein zusätzliches Element, das nur an diesem einen Freiheitsgrad hängt; ihre Steifigkeit wird auf das Hauptdiagonalelement addiert:

K_{ii} \mathrel{+}= k_F

Die Grenzfälle sind das freie Ende ( $k_F \to 0$ ) und das starre Auflager ( $k_F \to \infty$ ). Zählt man Auflager ab, zählt ein Federlager wie ein starres: Es bringt eine unbekannte Kraft und mit dem Federgesetz eine Gleichung mehr.

Beispiel: Kragträger mit Federlager

Kragträger $L = 6$ m, bei $A$ eingespannt, am freien Ende $B$ auf einer senkrechten Feder $k_F = 1\,000$ kN/m. Gleichlast $q = 10$ kN/m nach unten, $EI = 20\,250$ kNm².

Unbekannt sind die Durchbiegung $u_{y,B}$ und die Verdrehung $\varphi_B$ . Mit $12EI/L^3 = 1\,125$ kN/m, $6EI/L^2 = 3\,375$ kN und $4EI/L = 13\,500$ kNm und den arbeitsäquivalenten Lasten des Stabendes $b$ , $q_z L/2 = -30$ kN und $-q_z L^2/12 = +30$ kNm:

\begin{bmatrix} 1\,125 + 1\,000 & -3\,375 \\ -3\,375 & 13\,500 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{y,B} \\ \varphi_B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -30 \\ 30 \end{bmatrix}

Die Feder steht nur auf der Hauptdiagonale. Mit der Determinante $2\,125 \cdot 13\,500 - 3\,375^2 = 17\,296\,875$ folgt

u_{y,B} = \frac{-30 \cdot 13\,500 + 3\,375 \cdot 30}{17\,296\,875} = -0{,}017\,561\ \text{m}, \qquad \varphi_B = \frac{2\,125 \cdot 30 - 3\,375 \cdot 30}{17\,296\,875} = -2{,}168 \cdot 10^{-3}\ \text{rad}

Die Feder drückt mit $B_y = -k_F\,u_{y,B} = 17{,}561$ kN nach oben. Aus dem Gleichgewicht am ganzen Träger: $A_y = 60 - 17{,}561 = 42{,}439$ kN und das Einspannmoment $M_A = 10 \cdot 6 \cdot 3 - 17{,}561 \cdot 6 = 74{,}634$ kNm, gegen den Uhrzeigersinn.

Probe mit der Nachgiebigkeit

Dieselbe Federkraft folgt aus der Verträglichkeit am freien Ende: Die Durchbiegung des Kragträgers unter $q$ , vermindert um die aus $R$ , muss gleich der Federzusammendrückung $R/k_F$ sein.

R = \frac{q L^4 / (8EI)}{1/k_F + L^3/(3EI)} = \frac{0{,}08}{0{,}001 + 0{,}003\,556} = 17{,}561\ \text{kN}

Für $k_F \to \infty$ ergibt die Formel $R = 3qL/8 = 22{,}5$ kN, den Kragträger mit Stütze am Ende; für $k_F \to 0$ ist $R = 0$ , und das Einspannmoment wird $qL^2/2 = 180$ kNm.

Drehfeder und Einspanngrad

Eine Drehfeder $c$ (in kNm/rad) an einem Ende eines Einfeldträgers unter Gleichlast liegt zwischen gelenkiger Lagerung und Einspannung. Aus der Verträglichkeit am Federende, Endverdrehung des Einfeldträgers gleich Federverdrehung, folgt das Endmoment

|M_A| = \frac{qL^2}{8} \cdot \frac{1}{1 + \dfrac{3EI}{c\,L}}

Für $c \to \infty$ ist das $qL^2/8$ , das Einspannmoment des einseitig eingespannten Trägers, für $c \to 0$ null. Der Bruch wird oft Einspanngrad genannt.

6. Schräge Auflager

Ein Loslager auf einer geneigten Fläche hält die Verschiebung nur senkrecht zu dieser Fläche. Mit dem Einheitsvektor $\mathbf n$ in der gehaltenen Richtung lautet die Bedingung

\mathbf n^{\mathsf T} \begin{bmatrix} u_x \\ u_y \end{bmatrix} = n_x\,u_x + n_y\,u_y = 0

Sie betrifft zwei globale Freiheitsgrade zugleich. In der Steifigkeitsmethode dreht man dafür die Freiheitsgrade dieses Knotens in ein eigenes Knotensystem, dessen eine Achse in $\mathbf n$ zeigt, und sperrt dort einen Freiheitsgrad. Der Rechner bietet schräge Auflager nicht unmittelbar an. Nachbilden lassen sie sich mit einem kurzen, sehr dehnsteifen Pendelstab in Richtung $\mathbf n$ , an beiden Enden mit Momentengelenk und am anderen Ende fest gelagert: Er hält den Knoten genau in seiner Längsrichtung.

7. Genug Auflager, richtig angeordnet

Ein ebenes Tragwerk kann sich als starrer Körper auf drei Arten bewegen: in $x$ , in $y$ und durch Drehung. Die Auflager müssen alle drei verhindern. Dafür sind mindestens drei Bindungen nötig, aber nicht jede Anordnung von drei Bindungen genügt:

Alle Reaktionen parallel. Ein Träger auf drei Loslagern kann nichts in $x$ -Richtung aufnehmen und ist waagrecht verschieblich.
Alle Wirkungslinien durch einen Punkt. Ein waagrechter Träger mit Festlager bei $A$ und einem Lager bei $B$ , das nur $u_x$ hält, kann sich um $A$ drehen: Die Reaktion bei $B$ wirkt entlang der Trägerachse durch $A$ und hat keinen Hebelarm.

In beiden Fällen ist $\mathbf K_{ff}$ singulär. Der Rechner erkennt das beim Lösen an einem verschwindenden Pivotelement und meldet den Knoten und den Freiheitsgrad, an dem die Bewegung zuerst auffällt. Mehr zu solchen Ausnahmefällen auf der Seite Statische und kinematische Bestimmtheit.

8. So rechnet der Rechner

Für jeden Knoten gibt es die Schnellwahl frei, Loslager, Festlager, Einspannung und Feder. Darunter lässt sich jeder der drei Freiheitsgrade einzeln sperren; so entstehen auch ein Loslager, das nur $u_x$ hält, oder eine verschiebliche Einspannung.
Gesperrte Freiheitsgrade werden aus dem Gleichungssystem gestrichen, die Auflagerkräfte nach Abschnitt 2 zurückgerechnet.
Vorgegebene Verschiebungen und Verdrehungen, in m und rad, wirken nur in gesperrten Freiheitsgraden und gehen über $-\mathbf K_{fs}\,\bar{\mathbf u}_s$ auf die rechte Seite.
Federn werden je Freiheitsgrad eingegeben und auf die Hauptdiagonale addiert; ihre Kraft $-k_F\,u$ erscheint in der Tabelle der Auflagerkräfte. In einem starr gesperrten Freiheitsgrad bleibt eine Feder wirkungslos.
Wird ein Knoten zum Auflager, bietet der Rechner einmalig an, die dort ankommenden Stäbe gelenkig anzuschließen. Nach Abschnitt 3 ist das nur an einer Einspannung oder bei mehreren Stäben von Bedeutung.
Nach jeder Rechnung prüft der Rechner das Gleichgewicht aus Lasten, Auflager- und Federkräften.

Im Rechner nachvollziehen

Beide Zahlenbeispiele stehen in der Beispielliste. Bei der Stützensenkung zeigt der Reiter „Auflager“ 2,813, −5,625 und 2,813 kN, die Momentenlinie 16,875 kNm über $B$ . Beim Kragträger mit Federlager steht die Federkraft 17,561 kN in der Zeile von $B$ und das Einspannmoment 74,634 kNm bei $A$ .

Stützensenkung im Rechner öffnen Federlager im Rechner öffnen

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