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Direkte Steifigkeitsmethode

Die direkte Steifigkeitsmethode ist das Weggrößenverfahren in Matrizenform. Unbekannt sind die Verschiebungen und Verdrehungen der Knoten; das Gleichgewicht an allen Knoten ergibt ein lineares Gleichungssystem. Statisch bestimmte und unbestimmte Tragwerke laufen dabei über denselben Weg, weshalb die Methode die Grundlage praktisch jedes Stabwerksprogramms ist – auch dieses Rechners. Diese Seite leitet sie für ebene Rahmentragwerke Schritt für Schritt her und rechnet ein Beispiel vollständig durch.

1. Grundidee

Ein Stabtragwerk besteht aus geraden Stäben, die an Knoten zusammenhängen. Kennt man die Verschiebungen und Verdrehungen aller Knoten, kennt man auch die Lage beider Enden jedes Stabs. Für einen einzelnen Stab lässt sich exakt angeben, welche Kräfte an seinen Enden nötig sind, um ihn in diese Lage zu bringen. Genau das beschreibt seine Elementsteifigkeitsmatrix.

Die Methode geht deshalb in drei Schritten vor:

Für jeden Stab den Zusammenhang zwischen den Verschiebungen und den Kräften an seinen Enden aufstellen.
An jedem Knoten fordern, dass die Kräfte aller angeschlossenen Stabenden mit der äußeren Last im Gleichgewicht stehen. Das ergibt $\mathbf K \, \mathbf u = \mathbf F$ mit der Gesamtsteifigkeitsmatrix $\mathbf K$ , dem Vektor $\mathbf u$ aller Knotenverschiebungen und dem Lastvektor $\mathbf F$ .
Die Auflager einarbeiten, das Gleichungssystem lösen und aus den Knotenverschiebungen die Stabendkräfte, die Auflagerkräfte und die Schnittgrößenverläufe zurückrechnen.

Die Verträglichkeit ist dabei von selbst erfüllt: Alle Stäbe, die an einem Knoten biegesteif angeschlossen sind, teilen sich dessen Verschiebungen und Verdrehung. Anders als beim Kraftgrößenverfahren muss man weder den Grad der statischen Unbestimmtheit kennen noch ein statisch bestimmtes Grundsystem wählen.

2. Freiheitsgrade und Vorzeichen

Jeder Knoten eines ebenen Rahmens hat drei Freiheitsgrade: die Verschiebungen $u_x$ und $u_y$ und die Verdrehung $\varphi$ . Bei $n$ Knoten sind das $3n$ Unbekannte, zusammengefasst im Vektor

\mathbf u = \begin{bmatrix} u_{x,1} & u_{y,1} & \varphi_1 & u_{x,2} & u_{y,2} & \varphi_2 & \cdots & \varphi_n \end{bmatrix}^{\mathsf T}

Knoten $i$ belegt darin die Plätze $3i-2$ , $3i-1$ und $3i$ . Für die Vorzeichen gilt auf dieser Seite und im Rechner:

Globales System: $x$ nach rechts, $y$ nach oben. Eine Last nach unten hat also $F_y < 0$ .
Drehungen und Momente sind positiv gegen den Uhrzeigersinn.
Jeder Stab hat eine Richtung vom Anfangsknoten $a$ zum Endknoten $b$ . Seine lokale $x$ -Achse zeigt in diese Richtung, die lokale $z$ -Achse entsteht durch Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn. Bei einem waagrechten Stab, der von links nach rechts läuft, zeigt $z$ also nach oben.
Die Stabneigung $\alpha$ ist der Winkel von der globalen zur lokalen $x$ -Achse, mit $c = \cos\alpha = \Delta x / L$ und $s = \sin\alpha = \Delta y / L$ .

Viele Lehrbücher lassen die lokale $z$ -Achse nach unten zeigen. Das ändert die Vorzeichen einzelner Matrixeinträge, nicht die Methode. Die Schnittgrößen, die der Rechner ausgibt, folgen ohnehin der üblichen Baustatik-Konvention, siehe Abschnitt 8.

3. Elementsteifigkeitsmatrix im lokalen System

Im lokalen System hat jedes Stabende drei Verschiebungsgrößen: die Längsverschiebung $u$ , die Querverschiebung $w$ und die Verdrehung $\varphi$ . Zu ihnen gehören die Stabendkräfte in denselben Richtungen:

\mathbf d = \begin{bmatrix} u_a \\ w_a \\ \varphi_a \\ u_b \\ w_b \\ \varphi_b \end{bmatrix}, \qquad \mathbf f = \begin{bmatrix} f_{x,a} \\ f_{z,a} \\ m_a \\ f_{x,b} \\ f_{z,b} \\ m_b \end{bmatrix}

$\mathbf f$ sind die Kräfte, die von den Knoten auf den Stab wirken. Für einen geraden, unbelasteten Stab mit konstanter Dehnsteifigkeit $EA$ und Biegesteifigkeit $EI$ gilt nach der Balkentheorie von Euler-Bernoulli (Theorie I. Ordnung, ohne Schubverformung) exakt $\mathbf f = \mathbf k\,\mathbf d$ mit

\def\arraystretch{2.1} \mathbf k = \begin{bmatrix} \dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & -\dfrac{EA}{L} & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{12EI}{L^3} & \dfrac{6EI}{L^2} & 0 & -\dfrac{12EI}{L^3} & \dfrac{6EI}{L^2} \\ 0 & \dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{4EI}{L} & 0 & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{2EI}{L} \\ -\dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & \dfrac{EA}{L} & 0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{12EI}{L^3} & -\dfrac{6EI}{L^2} & 0 & \dfrac{12EI}{L^3} & -\dfrac{6EI}{L^2} \\ 0 & \dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{2EI}{L} & 0 & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{4EI}{L} \end{bmatrix}

Jede Spalte ist ein Einheitsverschiebungszustand: Spalte $j$ enthält die Stabendkräfte, die nötig sind, um $d_j = 1$ zu erzwingen, während alle anderen Stabendgrößen null bleiben.

Woher die Einträge kommen

Längsrichtung: Ein Stab, der um $\Delta u$ gelängt wird, trägt die Normalkraft $N = EA\,\Delta u / L$ . Das ergibt die Einträge $\pm EA/L$ . Im lokalen System sind Längs- und Biegeanteil voneinander unabhängig.
Verdrehung eines Endes: Wird der Stabanfang um $\varphi_a = 1$ verdreht, während das andere Ende eingespannt bleibt, entsteht am Anfang das Moment $4EI/L$ und am eingespannten Ende die Hälfte davon, $2EI/L$ (Fortleitungszahl ½). Die Querkräfte $\pm 6EI/L^2$ halten diesen Momenten das Gleichgewicht.
Querverschiebung eines Endes: $w_a = 1$ bei festgehaltenen Verdrehungen an beiden Enden erzeugt die Endmomente $6EI/L^2$ und die Querkräfte $\pm 12EI/L^3$ .

Formal folgen die Biegeeinträge aus der Differentialgleichung $EI\,w'''' = q_z$ . Für den unbelasteten Stab ist die Biegelinie ein Polynom dritten Grades, das sich mit den Hermite-Polynomen durch die vier Randwerte ausdrücken lässt:

w(x) = H_1\,w_a + H_2\,\varphi_a + H_3\,w_b + H_4\,\varphi_b, \qquad \xi = \frac{x}{L}

H_1 = 1 - 3\xi^2 + 2\xi^3, \quad H_2 = L\,(\xi - 2\xi^2 + \xi^3), \quad H_3 = 3\xi^2 - 2\xi^3, \quad H_4 = L\,(\xi^3 - \xi^2)

Die Steifigkeitseinträge sind dann $k_{ij} = \int_0^L EI\,H_i''\,H_j''\,\mathrm dx$ ; zum Beispiel ergibt $\int_0^L EI\,(H_1'')^2\,\mathrm dx$ genau $12EI/L^3$ .

$\mathbf k$ ist symmetrisch, wie es der Satz von Maxwell-Betti verlangt, und für sich allein singulär: Ein freier Stab kann sich als starrer Körper verschieben und drehen, ohne dass Kräfte entstehen. Diese drei Starrkörperbewegungen verschwinden erst, wenn der Stab über Knoten und Auflager gehalten wird.

4. Transformation ins globale System

Die Knotenverschiebungen stehen im globalen System, die Elementsteifigkeitsmatrix gilt im lokalen. Die Umrechnung ist eine Drehung um $\alpha$ , getrennt für beide Stabenden; die Verdrehung ist in beiden Systemen dieselbe:

\mathbf d = \mathbf T\,\mathbf u_e, \qquad \mathbf T = \begin{bmatrix} c & s & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -s & c & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c & s & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -s & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

$\mathbf u_e$ enthält die sechs globalen Verschiebungsgrößen der beiden Stabknoten. $\mathbf T$ ist orthogonal, $\mathbf T^{-1} = \mathbf T^{\mathsf T}$ ; Kräfte werden deshalb mit $\mathbf f_{\text{global}} = \mathbf T^{\mathsf T}\,\mathbf f$ zurückgedreht. Setzt man beides in $\mathbf f = \mathbf k\,\mathbf d$ ein, erhält man die Elementsteifigkeitsmatrix im globalen System:

\mathbf k_e = \mathbf T^{\mathsf T}\,\mathbf k\,\mathbf T

Bei einem waagrechten Stab von links nach rechts ist $\mathbf T = \mathbf I$ . Bei einem senkrechten Stab von unten nach oben ( $c = 0$ , $s = 1$ ) wird die Längssteifigkeit $EA/L$ zur Steifigkeit in globaler $y$ -Richtung und die Biegesteifigkeit $12EI/L^3$ zu der in $x$ -Richtung – genau das erwartet man von einer Stütze.

5. Lasten auf dem Stab

Lasten, die zwischen den Knoten auf einem Stab stehen, gehen über arbeitsäquivalente Knotenlasten in das Gleichungssystem ein. Sie sind so bestimmt, dass sie an den Stabendverschiebungen dieselbe Arbeit leisten wie die tatsächliche Last:

Q_i = \int_0^L q_z(x)\,H_i(x)\,\mathrm dx

Das gilt für die Querlast; in Längsrichtung entsprechend mit den linearen Ansätzen $1-\xi$ und $\xi$ . Für eine Gleichlast $q_z$ über den ganzen Stab und für eine Einzellast $F_z$ im Abstand $a$ vom Stabanfang, mit $b = L - a$ :

\def\arraystretch{2.1} \mathbf Q_{\text{Gleichlast}} = \begin{bmatrix} 0 \\ \dfrac{q_z L}{2} \\ \dfrac{q_z L^2}{12} \\ 0 \\ \dfrac{q_z L}{2} \\ -\dfrac{q_z L^2}{12} \end{bmatrix}, \qquad \mathbf Q_{\text{Einzellast}} = \begin{bmatrix} 0 \\ F_z\,\dfrac{b^2\,(3a+b)}{L^3} \\ F_z\,\dfrac{a\,b^2}{L^2} \\ 0 \\ F_z\,\dfrac{a^2\,(a+3b)}{L^3} \\ -F_z\,\dfrac{a^2\,b}{L^2} \end{bmatrix}

Mit umgekehrtem Vorzeichen sind das die Stabendkräfte des beidseitig eingespannten Stabs, also die aus Tabellen bekannten Volleinspanngrößen wie $qL^2/12$ oder $F a b^2/L^2$ und $F a^2 b/L^2$ . Für einen belasteten Stab lautet die Elementgleichung damit

\mathbf f = \mathbf k\,\mathbf d - \mathbf Q

Auch $\mathbf Q$ wird mit $\mathbf T^{\mathsf T}$ ins globale System gedreht. Trapez-, Dreiecks- und Teilstreckenlasten werden über dasselbe Integral behandelt.

6. Zusammenbau der Gesamtsteifigkeitsmatrix

Das Gleichgewicht an einem Knoten verlangt, dass die äußere Knotenlast $\mathbf P$ gleich der Summe der Kräfte ist, die der Knoten auf die angeschlossenen Stabenden ausübt. Über alle Knoten zusammen:

\sum_e \left( \mathbf k_e\,\mathbf u_e - \mathbf Q_e \right) = \mathbf P \quad\Longrightarrow\quad \mathbf K\,\mathbf u = \mathbf F = \mathbf P + \sum_e \mathbf Q_e

Praktisch heißt das: Jeder Stab verbindet zwei Knoten, und sein Zuordnungsvektor nennt die sechs globalen Nummern seiner Freiheitsgrade. Für einen Stab von Knoten $i$ nach Knoten $j$ :

\mathbf g = \begin{bmatrix} 3i-2 & 3i-1 & 3i & 3j-2 & 3j-1 & 3j \end{bmatrix}

Jeder Eintrag der globalen Elementmatrix wird an seiner Stelle zu $\mathbf K$ addiert, jeder Eintrag von $\mathbf Q_e$ an seiner Stelle zu $\mathbf F$ :

K_{g_r\,g_s} \mathrel{+}= k_{e,rs}, \qquad F_{g_r} \mathrel{+}= Q_{e,r}, \qquad r, s = 1, \dots, 6

Knotenlasten kommen unmittelbar auf ihren Platz in $\mathbf F$ . $\mathbf K$ ist symmetrisch und dünn besetzt: Ein Eintrag $K_{pq}$ ist nur dann von null verschieden, wenn die Freiheitsgrade $p$ und $q$ am selben Knoten liegen oder durch einen Stab verbunden sind. Wo mehrere Stäbe an einem Knoten zusammentreffen, addieren sich ihre Steifigkeiten auf der Hauptdiagonale.

7. Auflager und Randbedingungen

Ohne Auflager ist $\mathbf K$ singulär – das ganze Tragwerk könnte sich als starrer Körper bewegen. Auflager legen einzelne Freiheitsgrade fest. Man teilt die Unbekannten in freie ( $f$ ) und gesperrte ( $s$ ) Freiheitsgrade und ordnet das Gleichungssystem entsprechend:

\begin{bmatrix} \mathbf K_{ff} & \mathbf K_{fs} \\ \mathbf K_{sf} & \mathbf K_{ss} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf u_f \\ \bar{\mathbf u}_s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf F_f \\ \mathbf F_s + \mathbf R \end{bmatrix}

Die gesperrten Verschiebungen $\bar{\mathbf u}_s$ sind bekannt: meist null, bei einer vorgegebenen Stützensenkung der Senkungswert. Unbekannt sind dort stattdessen die Auflagerkräfte $\mathbf R$ . Die erste Zeile enthält nur noch die freien Verschiebungen als Unbekannte:

\mathbf K_{ff}\,\mathbf u_f = \mathbf F_f - \mathbf K_{fs}\,\bar{\mathbf u}_s

Die zweite Zeile liefert danach die Auflagerkräfte:

\mathbf R = \mathbf K_{sf}\,\mathbf u_f + \mathbf K_{ss}\,\bar{\mathbf u}_s - \mathbf F_s

Ein Federlager sperrt keinen Freiheitsgrad. Seine Federsteifigkeit $k_F$ wird auf das Hauptdiagonalelement des betroffenen Freiheitsgrads addiert, die Auflagerkraft ist dann $-k_F\,u$ . Mehr dazu, auch zu Stützensenkungen, auf der Seite Auflagertypen.

Ist $\mathbf K_{ff}$ singulär, gibt es eine Bewegung der freien Knoten, die keine Kraft erfordert: Das System ist kinematisch verschieblich. Der Rechner erkennt das beim Lösen an einem verschwindenden Pivotelement und nennt den Knoten und den Freiheitsgrad, an dem es zuerst auftritt.

8. Lösen und Rückrechnen

Das reduzierte Gleichungssystem wird mit dem Gauß’schen Eliminationsverfahren gelöst. Damit sind alle Knotenverschiebungen bekannt, und für jeden Stab folgen:

die lokalen Stabendverschiebungen $\mathbf d = \mathbf T\,\mathbf u_e$ ,
die Stabendkräfte $\mathbf f = \mathbf k\,\mathbf d - \mathbf Q$ ,
die Schnittgrößen an jeder Stelle $x$ aus dem Gleichgewicht am abgeschnittenen Stabstück.

Für die Schnittgrößen gilt die Baustatik-Konvention: $N$ positiv als Zug, $M$ positiv bei Zug an der Unterseite (der Seite, die der lokalen $z$ -Achse abgewandt ist) und $Q$ so, dass $\mathrm dM/\mathrm dx = Q$ . Am Stabanfang ist dann

N(0) = -f_{x,a}, \qquad Q(0) = f_{z,a}, \qquad M(0) = -m_a

und entlang des Stabs, mit der Längslast $p_x$ und der Querlast $q_z$ ,

\frac{\mathrm dN}{\mathrm dx} = -p_x, \qquad \frac{\mathrm dQ}{\mathrm dx} = q_z, \qquad \frac{\mathrm dM}{\mathrm dx} = Q

Einzelkräfte auf dem Stab erzeugen Sprünge in $N$ und $Q$ , Einzelmomente Sprünge in $M$ . Am Stabende muss sich wieder $N(L) = f_{x,b}$ , $Q(L) = -f_{z,b}$ und $M(L) = m_b$ ergeben – eine nützliche Probe für jede Handrechnung.

9. Zahlenbeispiel: Zweifeldträger

System

Zwei Felder zu $L = 6$ m, Gleichlast $q = 10$ kN/m nach unten über die ganze Länge, Querschnitt 30/30 cm mit $E = 30\,000$ MN/m², also $EI = 20\,250$ kNm². Knoten $A$ (links) ist ein Festlager, $B$ (Mitte) und $C$ (rechts) sind Loslager. Beide Stäbe laufen von links nach rechts.

Freiheitsgrade

Drei Knoten ergeben neun Freiheitsgrade. Gesperrt sind $u_{x,A}$ , $u_{y,A}$ , $u_{y,B}$ und $u_{y,C}$ ; frei bleiben $u_{x,B}$ , $u_{x,C}$ und die drei Verdrehungen. Die Längsverschiebungen sind bei einem geraden Träger von der Biegung entkoppelt und bleiben ohne Längslast null. Übrig bleiben die Verdrehungen $\varphi_A$ , $\varphi_B$ und $\varphi_C$ .

Gleichungssystem

Beide Stäbe liegen waagrecht, $\mathbf T = \mathbf I$ . Von der Elementmatrix bleiben für die Verdrehungen die Einträge $4EI/L$ und $2EI/L$ . Mit $q_z = -10$ kN/m sind die arbeitsäquivalenten Momente $q_z L^2/12 = -30$ kNm am Stabanfang und $+30$ kNm am Stabende. Zusammengebaut:

\frac{EI}{L} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 2 & 4+4 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varphi_A \\ \varphi_B \\ \varphi_C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -30 \\ 30 - 30 \\ 30 \end{bmatrix} \text{kNm}

Der Eintrag $4 + 4$ bei $B$ zeigt, wie sich die Steifigkeiten der beiden angeschlossenen Stäbe addieren; auf der rechten Seite heben sich ihre Beiträge dort auf.

Lösung

Aus der Symmetrie folgt $\varphi_B = 0$ und $\varphi_C = -\varphi_A$ . Die erste Zeile gibt dann

\varphi_A = -\frac{30 \cdot L}{4\,EI} = -\frac{30 \cdot 6}{4 \cdot 20\,250} = -2{,}222 \cdot 10^{-3}\ \text{rad} = -\frac{q L^3}{48\,EI}

Das Minuszeichen heißt: Am linken Auflager dreht sich der Träger im Uhrzeigersinn, er senkt sich also ins Feld hinein ab.

Rückrechnung für Stab A–B

Von null verschieden sind nur $\varphi_a = \varphi_A$ und $\varphi_b = \varphi_B = 0$ . Mit $4EI/L = 13\,500$ kNm, $2EI/L = 6\,750$ kNm und $6EI/L^2 = 3\,375$ kN aus $\mathbf f = \mathbf k\,\mathbf d - \mathbf Q$ :

\begin{aligned} m_a &= \tfrac{4EI}{L}\,\varphi_A - (-30) = -30 + 30 = 0 \\ m_b &= \tfrac{2EI}{L}\,\varphi_A - 30 = -15 - 30 = -45\ \text{kNm} \\ f_{z,a} &= \tfrac{6EI}{L^2}\,\varphi_A - (-30) = -7{,}5 + 30 = 22{,}5\ \text{kN} \\ f_{z,b} &= -\tfrac{6EI}{L^2}\,\varphi_A - (-30) = 7{,}5 + 30 = 37{,}5\ \text{kN} \end{aligned}

Ergebnis

Stützmoment $M_B = M(L) = m_b = -45$ kNm, also $-qL^2/8$ .
Auflagerkräfte $A = f_{z,a} = 22{,}5$ kN $= 3qL/8$ und, aus beiden Stäben zusammen, $B = 37{,}5 + 37{,}5 = 75$ kN $= 10qL/8$ ; aus Symmetrie $C = A$ .
Größtes Feldmoment dort, wo $Q(x) = 22{,}5 - 10\,x = 0$ ist, bei $x = 2{,}25$ m: $M = 22{,}5 \cdot 2{,}25 - 5 \cdot 2{,}25^2 = 25{,}31$ kNm.

Das ist das bekannte Ergebnis für den Zweifeldträger mit gleichen Feldern, hier aber ohne Kraftgrößenverfahren und ohne Tabelle, allein aus Knotengleichgewicht und Elementmatrix.

10. So rechnet der Rechner

Der Stabwerk-Rechner geht genau diesen Weg:

dieselbe Reihenfolge der Freiheitsgrade, dieselbe Elementmatrix und dieselbe Transformation wie oben,
Zusammenbau über die Zuordnung der Freiheitsgrade, Knotenlasten und arbeitsäquivalente Stablasten im Lastvektor,
Trapez-, Dreiecks-, Parabel- und Teilstreckenlasten exakt integriert,
Auflager durch Streichen der gesperrten Freiheitsgrade, Federn auf der Hauptdiagonale, Stützensenkungen auf der rechten Seite,
Lösen mit Gauß-Elimination und Spaltenpivotisierung,
Schnittgrößen und Biegelinie exakt aus Stabendkräften und Last, Extremwerte an den Nullstellen der Querkraft.

Gelenke an Stabenden werden vor dem Zusammenbau durch statische Kondensation der Elementmatrix berücksichtigt. Nach jeder Rechnung prüft der Rechner das globale Gleichgewicht aus Lasten und Auflagerkräften; die Streckenlasten werden dafür unabhängig vom Lösungsweg integriert.

Im Rechner nachvollziehen

Das Zahlenbeispiel steht als Zweifeldträger in der Beispielliste. Im Reiter „Auflager“ erscheinen 22,5, 75 und 22,5 kN, die Momentenlinie zeigt −45 kNm über $B$ , und im Reiter „Verschiebungen“ steht die Verdrehung von $A$ als −2.222e-3 rad.

Zweifeldträger im Rechner öffnen

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