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Statische und kinematische Bestimmtheit

Bevor man ein Tragwerk berechnet, fragt man: Steht es überhaupt, und reicht das Gleichgewicht allein, um die Kräfte zu bestimmen? Die Antwort gibt der Grad der statischen Unbestimmtheit. Diese Seite leitet das Abzählkriterium her, zeigt, wie man Gelenke richtig zählt, warum das Kriterium nicht immer genügt, und stellt ihm die kinematische Unbestimmtheit gegenüber, die für die Steifigkeitsmethode maßgebend ist – mit einem durchgerechneten T-Rahmen.

1. Drei Fälle

Statisch bestimmt: Alle Auflagerkräfte und Schnittgrößen folgen allein aus Gleichgewichtsbedingungen. Die Steifigkeiten spielen für die Kräfte keine Rolle, und Stützensenkungen oder Temperatur erzeugen keine Schnittgrößen.
Statisch unbestimmt: Es gibt mehr unbekannte Kräfte als Gleichgewichtsbedingungen. Die überzähligen Größen folgen erst aus der Verträglichkeit der Verformungen; die Kräfte hängen dann von den Steifigkeitsverhältnissen ab, und Zwang erzeugt Schnittgrößen.
Kinematisch (verschieblich): Das Tragwerk kann sich ganz oder teilweise bewegen, ohne dass sich ein Stab verformt. Für eine beliebige Belastung gibt es dann keinen Gleichgewichtszustand.

2. Das Abzählkriterium

Man zählt Unbekannte und Gleichungen. Ein gerader Stab hat drei unabhängige unbekannte Schnittgrößen: Kennt man $N$ , $Q$ und $M$ an einem Ende, folgen sie am anderen Ende aus dem Gleichgewicht am Stab. Jede Auflagerbindung bringt eine unbekannte Reaktion. Dem stehen an jedem Knoten drei Gleichgewichtsbedingungen gegenüber, und jede Freigabe liefert eine zusätzliche Bedingung „Schnittgröße gleich null“. Mit

$m$ : Anzahl der Stäbe,
$r$ : Anzahl der Auflagerbindungen, also der gesperrten Freiheitsgrade aller Auflager,
$k$ : Anzahl der Knoten,
$c$ : Anzahl der Nebenbedingungen aus Gelenken,

ist der Grad der statischen Unbestimmtheit

n = \underbrace{3m + r}_{\text{Unbekannte}} - \underbrace{(3k + c)}_{\text{Gleichungen}}

$n < 0$ : Es fehlen Bindungen, das System ist verschieblich. $n = 0$ : so viele Gleichungen wie Unbekannte, das System ist statisch bestimmt, sofern es nicht verschieblich ist. $n > 0$ : $n$ -fach statisch unbestimmt, ebenfalls unter diesem Vorbehalt, siehe Abschnitt 6.

Ein Federlager zählt in $r$ wie ein starres Auflager: Es bringt eine unbekannte Kraft. Das Federgesetz $R = -k_F\,u$ ist, wie die Bedingung $u = 0$ am starren Lager, eine Aussage über Verformungen und keine Gleichgewichtsbedingung; es geht deshalb nicht in die Zählung ein.

3. Gelenke richtig zählen

Eine Freigabe an einem Stabende setzt dort eine Schnittgröße null (siehe Gelenke und Freiheitsgrade). Für Normalkraft- und Querkraftgelenke zählt jede Freigabe als eine Bedingung. Bei Momentengelenken ist eine Ausnahme zu beachten:

Treffen an einem Knoten $j$ Stabenden zusammen, die alle ein Momentengelenk haben, und ist die Verdrehung dort nicht durch ein Auflager gehalten, sind nur $j - 1$ Bedingungen unabhängig. Die letzte ist bereits durch das Momentengleichgewicht am Knoten erfüllt: Wenn $j - 1$ Stabendmomente null sind und am Knoten kein Moment angreift, muss auch das letzte null sein.
Ist die Verdrehung am Knoten gehalten, zählt jede Freigabe. Ein Momentengelenk unmittelbar an einer Einspannung hebt deren Wirkung für diesen Stab auf.

Daraus folgt auch, dass ein Momentengelenk am freien Ende eines Kragarms nichts zählt ( $j = 1$ , also $j - 1 = 0$ ): Dort ist das Moment ohnehin null.

4. Andere Formen des Kriteriums

In Lehrbüchern finden sich weitere Formen, die sich alle aus derselben Bilanz ergeben.

Fachwerke

In einem Fachwerk sind alle Stäbe an beiden Enden gelenkig angeschlossen, und kein Knoten ist gegen Verdrehung gehalten. An einem Knoten mit $j_i$ Stäben zählen deshalb $j_i - 1$ Bedingungen. Weil jeder Stab zwei Enden hat, ist $\sum j_i = 2m$ und $c = \sum (j_i - 1) = 2m - k$ . Eingesetzt:

n = 3m + r - 3k - (2m - k) = m + r - 2k

Das ist das bekannte Fachwerkkriterium: Stabkräfte und Auflagerreaktionen gegen zwei Gleichgewichtsbedingungen je Knoten.

Scheibenform

Fasst man biegesteif verbundene Stäbe zu starren Scheiben zusammen, zählt man Scheiben statt Stäben. Jede Scheibe muss dafür in sich statisch bestimmt sein, darf also keinen geschlossenen Rahmen enthalten. Mit der Anzahl der Scheiben $s$ , der Auflagerreaktionen $a$ und der Verbindungskräfte zwischen den Scheiben $z$ (ein Momentengelenk zwischen zwei Scheiben überträgt zwei Kräfte):

n = a + z - 3s

Für den Gerberträger aus Abschnitt 5, zwei Scheiben mit einem Gelenk: $a = 4$ , $z = 2$ , $s = 2$ , also $n = 4 + 2 - 6 = 0$ . Die Scheibenform ist für die Handrechnung oft kürzer; die Stabform eignet sich für ein Programm, weil sie nur Stäbe, Knoten, Auflager und Freigaben zählt.

5. Beispiele

System	$m$	$r$	$k$	$c$	$n$
Einfeldträger (Fest- und Loslager)	1	3	2	0	0
Kragträger	1	3	2	0	0
Zweifeldträger	2	4	3	0	1
Gerberträger mit einem Gelenk	3	4	4	1	0
Fachwerk-Dreieck	3	3	3	3	0
Rahmen, beide Stiele eingespannt	3	6	4	0	3
Kragträger mit Federlager am Ende	1	4	2	0	1
T-Rahmen mit Kragarm	3	5	4	0	2

Beim Fachwerk-Dreieck hat jeder der drei Knoten zwei gelenkige Stabenden, zählt also je eine Bedingung: $c = 3$ . Alle Systeme der Tabelle stehen in der Beispielliste des Rechners, der die Zählung oben im Eigenschaftenfeld anzeigt.

6. Notwendig, aber nicht hinreichend

Das Abzählkriterium sagt nur, ob genügend Bindungen vorhanden sind, nicht, ob sie richtig angeordnet sind. Ein System mit $n \ge 0$ kann trotzdem verschieblich sein; man spricht vom Ausnahmefall der Statik. Drei typische Fälle, alle mit $n = 0$ :

Zweifeldträger auf drei Loslagern: $m = 2$ , $r = 3$ , $k = 3$ . Alle Auflagerreaktionen sind parallel, in $x$ -Richtung hält nichts.
Drei Gelenke auf einer Geraden: ein Dreigelenkträger, dessen Mittelgelenk auf der Verbindungslinie der beiden Festlager liegt. Beide Hälften drehen sich um ihr Festlager; das Mittelgelenk bewegt sich dabei für beide senkrecht zu dieser Linie, die Bewegung ist also verträglich. Nach Theorie I. Ordnung ist das System verschieblich; in Wirklichkeit trägt es erst nach großen Verformungen.
Festlager und Lager in Achsrichtung: ein waagrechter Träger mit Festlager bei $A$ und einem Lager bei $B$ , das nur $u_x$ hält. Die Reaktion bei $B$ geht durch $A$ und kann keine Drehung um $A$ verhindern.

Von Hand prüft man die Verschieblichkeit mit dem Polplan: Lässt sich für die Scheiben des Systems ein widerspruchsfreier Polplan finden, ist es verschieblich. In der Steifigkeitsmethode zeigt sich dasselbe ohne Zusatzaufwand: Die Matrix $\mathbf K_{ff}$ ist singulär (siehe Direkte Steifigkeitsmethode, Abschnitt 7).

7. Kinematische Unbestimmtheit

Der Grad der kinematischen Unbestimmtheit ist die Zahl der unbekannten, voneinander unabhängigen Knotenverschiebungen und -verdrehungen. Sie ist die Zahl der Unbekannten im Weggrößenverfahren, so wie $n$ die Zahl der Unbekannten im Kraftgrößenverfahren ist. Die beiden Größen haben nichts miteinander zu tun:

Beidseitig eingespannter Einfeldträger: dreifach statisch unbestimmt, aber kinematisch bestimmt – beide Knoten sind vollständig gehalten, es gibt keine unbekannte Verschiebung. Die Schnittgrößen sind unmittelbar die Volleinspanngrößen, etwa $qL^2/12$ an beiden Enden.
Kragträger: statisch bestimmt, aber kinematisch dreifach unbestimmt: $u_x$ , $u_y$ und $\varphi$ am freien Ende.
Zweifeldträger: einfach statisch unbestimmt. Frei sind die drei Verdrehungen und die Längsverschiebungen von $B$ und $C$ , zusammen fünf Unbekannte.

Wie viele Unbekannte es sind, hängt auch vom Modell ab. Die Steifigkeitsmethode des Rechners berücksichtigt die Längsdehnung und führt alle freien Knotenfreiheitsgrade mit. Rechnet man von Hand dehnstarr, wie beim Drehwinkelverfahren üblich, entfallen die Verschiebungen, die durch undehnbare Stäbe festgelegt sind: Beim Zweifeldträger bleiben die drei Verdrehungen, beim Rahmen mit zwei eingespannten Stielen die zwei Eckverdrehungen und eine gemeinsame waagrechte Verschiebung des Riegels.

Für die Steifigkeitsmethode ist der Grad der statischen Unbestimmtheit ohne Bedeutung: Statisch bestimmte und unbestimmte Systeme laufen über denselben Weg. Das Abzählkriterium ist trotzdem nützlich, als schnelle Kontrolle beim Aufbau eines Modells und als Hinweis, ob Zwang Schnittgrößen erzeugen kann.

8. Zahlenbeispiel: T-Rahmen mit Kragarm

System

Stiel F–K, $H = 4$ m, bei $F$ eingespannt. Am Kopf $K$ biegesteif angeschlossen: nach rechts der Riegel K–B, $\ell_2 = 2$ m, zum Festlager $B$ , nach links ein Kragarm K–L, $\ell_1 = 1$ m, mit der Einzellast $P = 10$ kN nach unten am freien Ende $L$ . Alle Stäbe mit $EI = 20\,250$ kNm².

Statische Unbestimmtheit

n = 3m + r - 3k - c = 3 \cdot 3 + (3 + 2) - 3 \cdot 4 - 0 = 2

Mit dem Kraftgrößenverfahren wären zwei Überzählige zu bestimmen, etwa die beiden Kräfte im Festlager $B$ .

Kinematische Unbestimmtheit

Im Rechner sind die Freiheitsgrade von $L$ (drei), $K$ (drei) und die Verdrehung am Festlager $B$ frei: sieben Unbekannte. Dehnstarr gerechnet kann sich $K$ nicht verschieben – der Stiel hält ihn senkrecht, der Riegel zum Festlager waagrecht. Der Kragarm ist statisch bestimmt angehängt; seine Last gibt er als Kraft und Moment an $K$ ab. Übrig bleibt eine einzige Unbekannte, die Verdrehung $\varphi_K$ .

Lösung mit einer Unbekannten

Der Kragarm belastet den Knoten mit dem Moment $P\,\ell_1 = 10$ kNm gegen den Uhrzeigersinn. Die Drehsteifigkeiten der beiden anderen Stäbe am Knoten:

\begin{aligned} \text{Riegel, bei } B \text{ frei drehbar:} &\quad \frac{3EI}{\ell_2} = 1{,}5\,EI \\ \text{Stiel, bei } F \text{ eingespannt:} &\quad \frac{4EI}{H} = 1{,}0\,EI \end{aligned}

\varphi_K = \frac{10}{2{,}5\,EI} = \frac{4}{EI} = 1{,}975 \cdot 10^{-4}\ \text{rad}

Das Knotenmoment verteilt sich im Verhältnis der Steifigkeiten: $6$ kNm in den Riegel und $4$ kNm in den Stiel; zur Einspannung wird die Hälfte übertragen, $M_F = 2$ kNm. Daraus die Auflagerkräfte:

$B$ : senkrecht $6/2 = 3$ kN nach unten, waagrecht $(4 + 2)/4 = 1{,}5$ kN,
$F$ : senkrecht $10 + 3 = 13$ kN nach oben, waagrecht $1{,}5$ kN in Gegenrichtung, Einspannmoment $2$ kNm.

Zwei statisch Überzählige, aber nur eine kinematische Unbekannte: Hier ist das Weggrößenverfahren von Hand deutlich kürzer.

Vergleich mit dem Rechner

Der Rechner berücksichtigt die Längsdehnung mit $EA = 2{,}7 \cdot 10^6$ kN. Der Knoten $K$ sinkt dadurch unter der Stielkraft um rund $0{,}02$ mm, und die Ergebnisse weichen um 2 bis 3 % ab: $B_y = -2{,}944$ kN, $F_y = 12{,}944$ kN, $H = 1{,}541$ kN und $M_F = 2{,}051$ kNm. Mit sehr großem $EA$ liefert er genau die Werte oben.

9. So rechnet der Rechner

Oben im Eigenschaftenfeld steht ständig die Zählung $n = 3m + r - 3k - c$ mit den eingesetzten Zahlen und dem Ergebnis: kinematisch, statisch bestimmt oder $n$ -fach statisch unbestimmt.
In $r$ zählt jeder gesperrte Freiheitsgrad und jede Feder. Für $c$ gelten die Regeln aus Abschnitt 3. Normalkraft- und Querkraftgelenke zählen stets einzeln; in Sonderfällen mit gleichgerichteten Stäben weist die Zählung $n$ dadurch um eins zu niedrig aus.
Die verlässliche Prüfung ist die Rechnung selbst. Ist $\mathbf K_{ff}$ singulär, meldet der Rechner das System als verschieblich und nennt den Knoten und den Freiheitsgrad, an dem das zuerst auffällt – auch dann, wenn die Zählung $n \ge 0$ ergibt.
Sind alle Freiheitsgrade gesperrt, wie beim beidseitig eingespannten Träger, weist der Rechner darauf hin, dass nichts zu lösen ist, und gibt die Volleinspanngrößen aus.

Im Rechner nachvollziehen

Der T-Rahmen steht als „T-Rahmen mit Kragarm“ in der Beispielliste. Oben im Eigenschaftenfeld erscheint „n = 3·3 + 5 − 3·4 − 0 = 2“, im Reiter „Auflager“ stehen −2,944 kN bei $B$ und 12,944 kN und 2,051 kNm bei $F$ . Wer ein Loslager gegen ein Festlager tauscht oder ein Gelenk einfügt, sieht die Zählung sofort mitgehen.

T-Rahmen im Rechner öffnen

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